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\title{作业一:洛必达法则的叙述与证明}

\author{周游 \\ 强基数学3200106105}

\date{2022/6/27}

\begin{document}

\maketitle


这是一个来自分析领域的问题,洛必达法则赫赫有名，
它大大简化了极限的求解，是非常顺手的数学神器。\par

\section{问题描述}
问题叙述如下: 设函数f(x)和g(x)都在点a的一个空心邻域中可导且$g^{\prime}(x)\neq0$，
\begin{equation}
    \lim_{x \rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
    =A(A\in \mathbf{R} \text{或} A=\pm \infty).\label{condition}
\end{equation}
(i)若$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a}g(x)=0 $则
\begin{equation}
    \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=A;\label{conclution}
\end{equation}
(ii)若$\lim\limits_{x \rightarrow a}g(x)=\infty$ ,则也有(\ref{conclution})式成立.

\section{证明}

(i) 补充定义  f(a)=g(a)=0 , 于是 f(x)  和  g(x)  都在 $ N(a, \delta)$上连续. 当  x<a  时, 由柯西中值定理知存在  $\xi \in(x, a)$ , 使得
\begin{equation}
\lim _{x \rightarrow a^-} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a^-} \frac{f(a)-f(x)}{g(a)-g(x)}=\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} .
\label{5.2.3}
\end{equation}
因为 $ x \rightarrow a^{-} $ 时, 也有 $ \xi \rightarrow a^{-} $ , 故由 (\ref{condition})  式知 (\ref{5.2.3})  式右端的极限为  A . 从而由 (\ref{5.2.3}) 式有
\begin{equation}
\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)}{g(x)}=A .
\label{5.2.4}
\end{equation}
同理可证
\begin{equation}
    \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=A .
    \label{5.2.5}
\end{equation}
将 (\ref{5.2.4})式和 (\ref{5.2.5})式结合起来即得 (\ref{conclution})式.\par
(ii) 先证(\ref{5.2.4})式. 设 $ A \in \mathbf{R}$ ,于是由  (\ref{condition})  式知对任给的  $\varepsilon>0$ , 都存 在  $\delta>0 $, 使当  $0<|x-a| \leqslant \delta $ 时, 就有
\begin{equation}
\left|\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-A\right|<\varepsilon .
\label{5.2.6}
\end{equation}
当  $x \in(a-\delta, a) $ 时, 由柯西中值定理知存在 $ \xi \in(a-\delta, x) $ 使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{f(x)}{g(x)} &=\frac{f(x)-f(a-\delta)}{g(x)-g(a-\delta)} \frac{g(x)-g(a-\delta)}{g(x)}+\frac{f(a-\delta)}{g(x)}\\
&=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} \frac{g(x)-g(a-\delta)}{g(x)}+\frac{f(a-\delta)}{g(x)} .
\end{aligned}
\label{5.2.7}
\end{equation}
由于  $g^{\prime}(x) \neq 0 $ 且 $ g(x) \rightarrow \infty(x \rightarrow a) $, 故可设 $ g(x)>0, g^{\prime}(x)>0$  且 $ g(x) \rightarrow   +\infty\left(x \rightarrow a^{-}\right) $. 于是  (\ref{5.2.7})  式右端第 1 项的第 2 个因式为正. 从而由  (\ref{5.2.7})  式和  (\ref{5.2.6})  式得到
\begin{equation}
\frac{f(x)}{g(x)} \leqslant(A+\epsilon) \frac{g(x)-g(a-\delta)}{g(x)}+\frac{f(a-\delta)}{g(x)} .
\end{equation}
令 $ x \rightarrow a^{-}$ 取上极限, 即得
\begin{equation}
\varlimsup\limits_{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant A+\epsilon
\label{5.2.8}
\end{equation}
 
同理可证
\begin{equation}
\varliminf_{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)}{g(x)} \geq A-\epsilon
\label{5.2.9}
\end{equation}

将(\ref{5.2.8})式和 (\ref{5.2.9})式结合起来,得到
\begin{equation}
A-\epsilon \leqslant \varliminf_{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant \overline{\lim }_{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant A+\epsilon .
\end{equation}
再由  $\epsilon $ 的任意性即得 (\ref{5.2.4})式. 同理可证  (\ref{5.2.5})  式成立, 从而知 (\ref{conclution})式 于 $ A \in \mathbf{R} $ 时成立.
当 $ A=\pm \infty $ 时,用类似的方法可以证明  (\ref{conclution})  式也成立.


\end{document}
